Ho ricevuto una nuova domanda, e anche in questo caso rispondo pubblicamente pensando di fare cosa utile.
Buonasera Ingegner Rugarli.
Mi piacerebbe porle una questione che è venuta fuori il giorno prima delle “ferie” di Natale.
Ho ricevuto una validazione ad un progetto da me fatto di una scala di sicurezza in acciaio un po’ ardita.
Le questioni che il validatore pone sono secondo me molto interessanti e suscitano in me qualche dubbio.
La prima questione che il validatore pone riguarda il fenomeno di instabilità delle colonne della scala.
Egli afferma infatti che secondo lui andrebbe svolta una analisi di Buckling in cui, oltre ai carichi verticali andrebbero inseriti i carichi orizzontali (ad esempio il vento).
Il primo dubbio che mi viene quindi riguarda proprio la definizione dell’analisi di Buckling.
Essa è una analisi agli autovalori che si basa sulla determinazione dei moltiplicatori dei carichi di collasso attraverso la risoluzione del problema di Eigen generalizzato.
Da quello che ho studiato, inoltre, essa dovrebbe essere eseguita solamente utilizzato come “vettori esploratori” i carichi verticali fattorizzati allo SLU.
Non riesco a capire perciò (probabilmente perché mi sfugge qualcosa) il motivo di impostare una analisi di Buckling in cui vengono inseriti anche i carichi orizzontali.
Che informazioni aggiuntive ottengo?
Quello che penso è che i carichi orizzontali andrebbero inseriti in una analisi PDelta, con la quale studio direttamente il fenomeno dell’instabilità, per innescare i possibili fenomeni instabili.
La seconda questione riguarda, invece, il legame tra il coefficiente alfacritico ottenuto dall’analisi di Buckling e proposto al capitolo 4 per valutare la suscettibilità delle strutture agli effetti del secondo ordine e il coefficiente theta presentato nel capitolo 7 delle NTC2018, il quale permette di valutare la suscettibilità gli effetti del secondo ordine per le strutture soggette a sisma.
Se non sbaglio, la formula del theta è valida per edifici multipiano e quindi, di conseguenza, non può essere generalizzata.
Essa è stata introdotta inoltre per ricordare ai progettisti che quando progettano in duttilità uno degli aspetti negativi che si verificano è l’introduzione di fenomeni PDelta che insorgono proprio per l’elevata duttilità della struttura e i conseguenti spostamenti elevati.
Un approccio più generale può utilizzare a questo scopo (studio di suscettibilità delle strutture antisismiche agli effetti del secondo ordine) una analisi di Buckling dimostrando che l’alfacritico è maggiore di 10? (Forse è più corretto alfacritico (valutato per i carichi verticali quasi permanenti) maggiore di 10 per il fattore di struttura utilizzato?)
Avevo letto, se non sbaglio, nella norma, che theta è esprimibile come alfacritico alla meno 1.
Ciò significa che alfacritico maggiore di 1 equivale a theta minore di 0,1. O sbaglio?
In definitiva quindi se è possibile eseguire un’analisi di Buckling in sostituzione al test del theta come si deve agire? Basta inserire solo i carichi verticali fattorizzati allo SLV?
Bisogna adottare qualche accorgimento particolare? Come farebbe lei questo studio?
Come sempre la ringrazio molto per la sua disponibilità e approfitto per farLe gli auguri di buone feste.
Terminologia
Per me e qui in questo articolo, "analisi di buckling" è una analisi agli autovalori. Essa non va confusa
con una analisi NL per NL geometrica e/o di materiale, che non è una analisi lineare.
Va notato che è tranquillamente possibile fare una analisi di buckling (agli autovalori) partendo da un campo
di sforzi ottenuto con una analisi con NL di materiale. In questo caso, sono attesi risultati più corretti, ma
l'onere computazionale è maggiore (per l'ottenimento del campo di sforzi).
Analisi di buckling
E' una analisi agli autovalori che risolve il seguente problema
(K+αKg)ψ=0
K è la ordinaria matrice di rigidezza (elastica o se analisi NLM, tangente), mentre Kg è la matrice di rigidezzageometrica che dipende dallo stato di sforzo. La Kg deve essere assemblata per tutti i tipi di elemento e non
solo per gli elementi trave e biella. Elementi di piastra (sottile o spessa), elementi membrana, elementi solidi.
Una analisi di buckling con elementi plate-shell dove si assembla solo la Kg degli elementi biella e trave non
è corretta.
Dato che Kg = Kg(σ), e dato che σ dipende dalla combinazione, ogni combinazione diversa porterà una analisi
di buckling diversa. Si noti che una analisi di buckling su casi di carico elementari non ha alcun senso.
Nel caso di analisi NL, non ci sono combinazioni (nel senso algebrico lineare), ma solo casi di carico aggregati,
creati sperabilmente in modo automatico a partire dalle combinazioni lineari e dai carichi di base, con
opportuno comando.
Rilevanza delle combinazioni
Ogni combinazione porta una diversa intensità e distribuzione delle sollecitazioni, e pertanto non è possibile
a priori, se non in casi elementari e disaccoppiati, dire quale sarà la combinazione peggiore: bisogna esaminarle
tutte. Anche se le combinazioni sono centinaia, il programma deve saper eseguire in un colpo solo la analisi di
buckling su centinaia di combinazioni, e presentare i risultati (nel modo che vedremo) in modo che siano
chiaramente leggibili.
La necessità di esaminare tutte le combinazioni è uno degli effetti collaterali delle combinazioni agli stati limite,
come ebbi a scrivere venti anni fa, nella rivista diretta dall'indimenticato prof. Duilio Benedetti, POLIMI [3]).
Infatti, se anche una combinazione magari ha carichi minori, essa può localmente comportare compressioni
maggiori in certe zone, e attivare con moltiplicatori più bassi specifici modi critici, che possono essere molto
pericolosi, soprattutto se non indagati.
Metodo generale
Usato ubicuamente dall'Eurocodice 3 ma senza dirlo (lastre, profili formati a freddo, svergolamento ecc.),
il metodo generale generalizza, appunto, i risultati ottenibili sulla colonna semplice a strutture
generiche.
Se nella colonna semplice è noto come calcolare la snellezza in funzione della geometria e dei vincoli, in una
struttura generica (una struttura spaziale, una copertura, una struttura industriale) ciò non è affatto chiaro.
Nel mio libro Calcolo di Strutture in Acciaio, già nel 2008 [1], 16 anni fa, avevo spiegato come funziona il metodo
generale, illustrandone la ratio. Avevo proposto di chiamare criticità, la snellezza "adimensionale" λ,che serve per calcolare il fattore di riduzione χ in funzione della curva di stabilità. Tale numero, per le strutture
generiche, viene calcolato solo con due moltiplicatori:
- il moltiplicatore critico αcr (analisi di buckling)
- il moltiplicatore ultimo αu (analisi limite)
senza alcun bisogno di misure geometriche.
I moltiplicatori critici non sono una misura a favore di sicurezza del rischio di instabilità, perché ci sono le
imperfezioni, le auto-tensioni eccetera. Esattamente come il carico critico euleriano di una colonna non è
sufficiente ma va corretto con una curva di stabilità che determini un χ, in modo che il moltiplicatore reale
αr sia ottenuto dal moltiplicatore critico αcr mediante le note relazioni (Rugarli 2008, [1]):
λ=√(αu/αcr)
χ=χ(λ)
αr= χ αu
dove αu e il moltiplicatore limite, allo stesso modo una struttura generica, si deve:
- Determinare per ogni combinazione i più αcr,ij
- Per ogni combinazione, determinare il relativo moltiplicatore limite αu,i
- Scegliere per ogni modo critico una determinata curva di stabilità (a, b, c, d, per modi non elementari si dovrebbe partire almeno dalla b)
- Determinare per ogni modo critico e per ogni combinazione il proprio αr,ij, mediante le relazioni indicate.
- Trovare il valore minimo di tale insieme di moltiplicatori reali, e adottare quello come misura del rischio di instabilità. Tale numero dovrebbe almeno essere pari a 1.05, ma meglio se un po' superiore, 1.15 ad esempio.
Da questa analisi, che va ovviamente computerizzata da un opportuno comando, l'analista saprà quale combinazione sia la più pericolosa. E' da notare che i modi critici possono essere più importanti anche se con moltiplicatore maggiore: se un modo è locale con moltiplicatore 4.5 e uno è globale con moltiplicatore 4.8, va prestata attenzione anche al modo globale (che potrebbe avere imperfezioni maggiori). Se il modello è fatto bene, nessun modo critico va scartato, ma ci sono molti casi in cui, per varie ragioni, si possono presentare modi critici non realmente significativi.
La scelta della curva di stabilità
Ovviamente è molto delicata. Io normalmente parto dalla c per modi globali. Va osservato che:
- tanto più la struttura è ampia e tanto più sarà imperfetta
- strutture montate in officina sono meglio di strutture montate in sito
- i giochi foro-bullone influiscono sulle imperfezioni
- le strutture in parete sottile sono più prone alla instabilità
- le saldature in opera sono più pericolose di quelle in officina
- la curva di stabilità può anche essere ottenuta fissando valori del coefficiente di imperfezione α in modo intermedio tra una curva e l'altra o peggiore della curva d.
La determinazione del moltiplicatore ultimo αu
In teoria, bisognerebbe eseguire una analisi NLM fino a raggiungere un meccanismo, per ogni
combinazione. Ciò però sarebbe oltremodo oneroso, dato che le combinazioni possono essere centinaia.
Per fortuna, si può dimostrare ([1] e [2]) che utilizzando al posto del moltiplicatore αu il
moltiplicatore elastico αe, si ottiene un moltiplicatore αr minore.
Non è scontato, è un risultato importantissimo.
Ovvero: utilizzare anziché il moltiplicatore ultimo αu (più alto ma con χ più basso) il moltiplicatore
elastico αe, più basso ma con χ più alto, è sempre a favore di sicurezza.
Si vedano a riguardo le curve plottate in [2].
Il moltiplicatore elastico si trova ad esempio come αe= fy / maxe{N/A + My/Wy + Mz/Wz}e.
Si rimanda a [1] e [2].
Implementazione
Non so cosa facciano gli altri programmi, perché per definizione non li guardo mai, preferendo ragionare
solo con la mia testa.
Il mio Sargon ([2]) dal Novembre 2012, quanto scrissi il modulo di buckling, consente di eseguire
l'analisi per metodo generale, su tutte le combinazioni che si vogliono.
Tutte assieme, non una per una. Poi, produce un listato con i risultati e, soprattutto, una immagine che ha:
in ascissa il numero di combinazione in ordinata il corrispondente valore di αr.
Così (qui un esempio con 59 combinazioni):
Non so cosa facciano gli altri programmi, io questo comando l'ho pensato con la mia testa.
Dato che Sargon è, come ampiamente noto, assolutamente marginale nel panorama dei sw esistenti, o almeno così qualcuno crede, e scrive in "attendibili" rassegne, io sono assolutamente certo:
- che usino il metodo generale
- che consentano la buckling su dozzine o centinaia di combinazioni alla volta
- che rappresentino in modo comprensibile i risultati
perché se per caso facessero la buckling una combi alla volta, da definire a mano, e non avessero il metodo generale, ho paura che si perdano qualcosa.
Io uso la procedura qui delineata stabilmente, regolarmente e flat, su tutte le strutture. Da questi risultati, se lo ritengo necessario o opportuno, approfondisco ulteriormente con analisi NLGM, su un certo selezionato minimo insieme di combinazioni significative. E che sono quelle, da approfondire, me lo dice il metodo generale.
La analisi di buckling deve essere usata routinariamente e per tutte le combinazioni: questo è il mio parere, del resto espresso già nel manuale di Sargon 12 anni fa ([2]).
Risposta ai quesiti
La prima questione che il validatore pone riguarda il fenomeno di instabilità delle colonne della scala.
Egli afferma infatti che secondo lui andrebbe svolta una analisi di Buckling in cui, oltre ai carichi verticali andrebbero inseriti i carichi orizzontali (ad esempio il vento).
A meno che il vento non provochi alcun cambio di sollecitazione nelle colonne, o altrove, il che mi pare improbabile, ha ragione il validatore.
Il primo dubbio che mi viene quindi riguarda proprio la definizione dell’analisi di Buckling.
Essa è una analisi agli autovalori che si basa sulla determinazione dei moltiplicatori dei carichi di collasso attraverso la risoluzione del problema di Eigen generalizzato.
Da quello che ho studiato, inoltre, essa dovrebbe essere eseguita solamente utilizzato come “vettori esploratori” i carichi verticali fattorizzati allo SLU.
E' proprio sicuro che Le abbiano insegnato così? Perché il momento ribaltante causato dai carichi orizzontali, normalmente provoca variazioni di compressione nelle colonne, ma comunque in generale, compressione da qualche parte. O no?
Non riesco a capire perciò (probabilmente perché mi sfugge qualcosa) il motivo di impostare una analisi di Buckling in cui vengono inseriti anche i carichi orizzontali.
Che informazioni aggiuntive ottengo?
Quello che penso è che i carichi orizzontali andrebbero inseriti in una analisi PDelta, con la quale studio direttamente il fenomeno dell’instabilità, per innescare i possibili fenomeni instabili.
Ma perché, i carichi orizzontali non provocano compressioni mai, da nessuna parte? Mi pare una idea priva di basi.
La seconda questione riguarda, invece, il legame tra il coefficiente alfacritico ottenuto dall’analisi di Buckling e proposto al capitolo 4 per valutare la suscettibilità delle strutture agli effetti del secondo ordine e il coefficiente theta presentato nel capitolo 7 delle NTC2018, il quale permette di valutare la suscettibilità gli effetti del secondo ordine per le strutture soggette a sisma.
Se non sbaglio, la formula del theta è valida per edifici multipiano e quindi, di conseguenza, non può essere generalizzata.
Usando analisi molto più serie come metodi di routine, alludo al metodo generale per tutte le combinazioni, io "questa roba" non la uso e non la ho implementata in Sargon. Non credo sia saggio usarla. Potendo avere anolini alla parmigiana, con lo stracotto, in brodo di carne, perché mi devo mangiare tortellini in scatola?
In definitiva quindi se è possibile eseguire un’analisi di Buckling in sostituzione al test del theta come si deve agire? Basta inserire solo i carichi verticali fattorizzati allo SLV?
Bisogna adottare qualche accorgimento particolare? Come farebbe lei questo studio?
Credo che l'articolo abbia chiarito completamente il tema. Io uso il metodo generale e il mio programma,
scritto da me.
Chiarisco che anche altri software usano il metodo generale. Spero bene del resto. Come ha visto, io ne ho scritto in un libro 16 anni fa, ma, a quanto pare, non è molto servito.
Amen.
Riferimenti
[1] Rugarli P., Calcolo di Strutture in Acciaio, EPC Libri, 2008
[3] Rugarli P., Combinazioni di Verifica agli Stati Limite: il non detto delle normative, Ingegneria Sismica, 2, 2004:
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