Verifiche in Classe 1 o 2 ma q = 1-1.5?

Premessa 

Ho ricevuto una richiesta su Linkedin, questa:

Buongiorno Ingegnere.
Ho un’altra questione molto interessante (secondo me) da porle. Nessuno ha saputo darmi una indicazione precisa se non quella di fare ciò che viene prescritto dalla Normativa (NTC2018) senza però sapere il perché.

Quando si calcolano le strutture non dissipative in calcestruzzo armato quindi q=1 o, al più, a 1,5, la normativa richiede di calcolare queste strutture in campo elastico o sostanzialmente elastico.
Ciò, a parere mio, è legato al fatto che per le strutture non dissipative non si eseguono controlli di duttilità e non è richiesto il rispetto delle prescrizioni normative per i nodi, i quali non necessitano (rispetto a quello che dice la normativa) di essere verificati.
Non essendoci nella struttura parti che possono plasticizzare è meglio che, quindi, essa rimanga integralmente in campo elastico.
Ciò significa che una volta fatta l’analisi e determinate le sollecitazioni se io voglio verificare una sezione di una trave o di un pilastro (a flessione o a pressoflessione) vado a limitare la deformazione dell’acciaio al 1,87 per mille è quella del calcestruzzo al 2 per mille.

Cosa diversa invece è per le strutture in acciaio.
La norma al punto 7.5 dice che per le strutture in acciaio bisogna rifarsi a quanto riportato nel capito 4 senza alcuna prescrizione aggiuntiva.
Ciò significa che se la sezione che io sto analizzando e verificando è di classe 1 o 2 posso verificarla in campo plastico. Altrimenti devo limitarmi al campo elastico.
Questo mi crea un po’ di dubbi.
Anche se la struttura è in acciaio e non dissipativa io non vado a verificare nessun dettaglio costruttivo riguardo ai nodi e non applico nessun criterio di gerarchia delle resistenze.
Quindi, a rigore, in analogia con il calcestruzzo sarebbe meglio tenere tutta la struttura in campo elastico qualsiasi sia la classificazione di sezione degli elementi che la compongono.
Questo perché se io la verifico in campo plastico sto ammettendo, implicitamente, che ci siano delle plasticizzazioni da qualche parte e non essendoci dei dettagli in grado di dissipare sto (a mio parare) facendo peggio.

A quanto pare però per la normativa non c’è analogia tra calcestruzzo e acciaio e non riesco a capire il perché.

Lei si è fatto qualche idea a riguardo? Cosa ne pensa?
Non c’è un’analogia tra calcestruzzo e acciaio?
La differenza a cosa è dovuta? Perché quelle in calcestruzzo devo limitarle integralmente al campo elastico e quelle in acciaio no?
La ringrazio e le auguro una buona giornata.

Lorenzo Veronese

L'Autore mi ha autorizzato a fare il suo nome, cosa che del resto mi pare giusto dato che la domanda è
pertinente e intelligente.

Il metodo q

Come ho già avuto modo di dire altrove, il metodo che consiste nel dividere lo spettro di risposta elastico per un fattore q maggiore di 1 è un metodo fortemente approssimato. Un solo numero tenta di ricomprendere fenomeni molto diversi. Inoltre, in presenza di smorzamenti concentrati, il trucco di adoperare q diversi per diversi modi è privo di base teorica, dato che in presenza di smorzamenti concentrati il sistema non è disaccoppiabile.

    Valori di q alti, diciamo da 2 in su, implicano cospicui risparmi in termini di resistenza plastica, ma, al tempo stesso, necessitano che i cicli plastici siano garantiti. A sua volta questo vuol dire che sia localmente che globalmente, la struttura deve poter assorbire spostamenti e deformazioni elevate, mantenendo inalterate, o poco alterate, le caratteristiche dissipative. Ciò implica che non vi sia instabilità, né locale né globale, che non vi sia fratturazione per eccesso di deformazione o per fatica oligociclica, che gli effetti P-Δ siano relativamente contenuti, che i cicli dissipativi mantengano grosso modo inalterate le loro caratteristiche all'aumentare del numero di cicli, ecc. ecc.. Non è banale.

    In campo dinamico, la schematizzazione quasi-statica occulta un mare di questioni che invece la struttura reale dovrà affrontare.

    Se il fattore di struttura è pari a 1 o al più 1.5, le richieste sono decisamente inferiori.

    Nel caso di q strettamente eguale a 1, lo spettro adottato è quello elastico senza riduzioni. In teoria ciò sarebbe a favore di sicurezza, ma ci sono un po' di questioni da avere ben chiare.

    In primo luogo, se lo scopo è fare strutture resistenti ai veri sismi, non ci si potrà esimere di considerare che la valutazione PSHA della pericolosità si fonda su metodi privi di rigorose basi geofisiche. Quindi, potrebbero arrivare sismi decisamente diversi, sia per la intensità, sia per il contenuto in frequenza, rispetto a quelli del "periodo di ritorno" fissato per legge.

    In secondo luogo, dimensionamento elastico non vuole dire che i cicli di carico e scarico non ci siano. Quindi, bisogna ben considerare prima di tutto la possibile inversione del segno delle sollecitazioni, la quale può comportare, a parità di valore assoluto, effetti be diversi sulla nostra struttura: per la instabilità e non solo. Da notare che, dato che una modale con spettro combina i modi mediante metodologie (SRSS, CQC) che fanno perdere il segno, bisogna ben stare attenti a che la natura intrinsecamente ciclica e dinamica della sollecitazione sismica sia pertinentemente tenuta in conto. Già una semplice THM mette al riparo da questo rischio (purché il numero e il tipo dei segnali siano pertinenti: il numero, perché devono essere tanti; il tipo, perché gli unici segnali davvero pertinenti sono quelli che partono dagli scenari sismici locali e tengono conto del sito).

    Nel caso di q= 1.5, si tiene conto che "una qualche dissipazione" ci deve pur essere, e così si abbattono ai 2/3 le ordinate dello spettro elastico. Non è poco. La dissipazione che si chiama implicitamente in causa, però, non è quella strutturale, ma piuttosto quella legata alla "sofferenza" delle parti non strutturali, le quali sono costrette a seguire i cicli e le deformazioni. Quindi, questo 0.5 in più non necessita di plasticizzazioni.

Le verifiche in classe 1 e 2

Se le sezioni sono in classe 1 o 2, il dominio limite usato per le verifiche non è quello elastico, ma è quello plastico. Avere sfruttamenti inferiori a 1 con un calcolo elastico lineare, vuol dire che la sezione verificata non ha raggiunto la piena plasticizzazione con le sollecitazioni usate per calcolarla. A sua volta, questo significa che una parte della sezione è plastica, mentre un'altra, no. Prima di scorrere in campo plastico, la sezione deve esaurire le sue risorse elastiche, che, se lo sfruttamento è inferiore a 1, essa non ha ancora sfruttato pienamente. La massima deformazione è fy/E, ovvero la deformazione di primo snervamento.

    Quindi, una sezione verificata in classe 1 o 2, con un calcolo globalmente elastico, ha ancora qualche risorsa elastica da spendere, e non ha attinto di sicuro la sua massima deformazione sezionale plastica. A causa di ciò, non vi è nemmeno stata una significativa redistribuzione, perché, sia pur diminuita, la sua rigidezza flessionale c'è ancora: non si è ancora formata una vera cerniera plastica.

    Vero è però, che la rigidezza flessionale non può più essere rigorosamente quella elastica iniziale, dato che una qualche plasticizzazione, se lo sfruttamento è tale da aver superato il limite elastico, c'è stata.

    Un calcolo rigoroso, dovrebbe essere elasto-plastico, a fibre (1), e tener conto di questa diminuita rigidezza. Ma d'altro canto, un calcolo di questo tipo non è elastico lineare e porta con sé tutte le complicazioni del calcolo non lineare, prima tra tutte la perdita di applicabilità del principio di sovrapposizione degli effetti.

    Se immaginiamo di fare una verifica sismica, con sezioni in classe 1 o 2, si possono dare questi tre casi:

1. Le verifiche sono soddisfatte e non vi è superamento del limite elastico. In questo caso la sezione è in classe 1 o 2 ma avrebbe potuto essere anche in classe 3 e le verifiche sarebbero state egualmente soddisfatte. In questo caso la domanda posta dal collega non si applica. Comunque, per le ragioni che chiarisco più sotto, è un bene che le sezioni siano in classe 1 o 2.
2. Le verifiche non sono soddisfatte. In questo caso la sezione andrà modificata.
3. Le verifiche sono soddisfatte, ma vi è un certo qual sforamento del limite elastico. In questo caso, il calcolo globale elastico è a rigore sbagliato, perché una certa qual modifica alla rigidezza c'è stata (in un fuso che scema allontanandosi dal picco di momento). Tuttavia, essa potrebbe essere modesta. Lo è se lo sforamento è limitato, tende a non esserlo se lo sforamento è invece marcato. Ma perché vi siano significative redistribuzioni, lo scorrimento plastico deve essere marcato, mentre noi sappiamo con certezza che una parte della sezione è ancora elastica (sempre nei limiti di validità dei nostri metodi), e dunque il depauperamento di rigidezza modesto, e la rotazione suppletiva deve essere anch'essa modesta.  La cerniera plastica non c'è, ma è come se, adottando leggi costitutive elastiche-perfettamente plastiche, in quel fuso ci fossero sezioni elastiche di dimensioni ridotte rispetto a quella originaria, sezioni che sono costituite da quella parte di sezione che è ancora elastica.

A parte il modesto errore sulle azioni interne, non ci sono problemi. E' corretto dire che a quella sezione si chiede solo di plasticizzarsi un po', ma non certo di scorrere decisamente in campo plastico, con tutto quello che ciò comporta, sia in termini di spostamento, sia in termini di deformazione, con quindi il rischio di arrivare alla rottura. C'è uno scudo, costituito dal fatto che la sezione resta in parte elastica.

Risposta alla domanda

Quindi, attingere parzialmente alle risorse plastiche di una sezione, è ben diverso che chiedere a lei e alla struttura, di scorrere decisamente in campo plastico. Molto diverso.

Inoltre, il comportamento dell'acciaio è molto più certo, stabile, reversibile e replicabile di quello del calcestruzzo, non a caso i fattori parziali sono ben diversi. 

La legge costitutiva del calcestruzzo è piena di incertezze e affetta da una miriade di fattori.

Ma cosa succede se facciamo un calcolo con q=4, e il coefficiente di sfruttamento è inferiore a 1?

In questo caso c'è da discutere.

Con q alti, noi dovremmo dimensionare la struttura:

• o facendo un calcolo effettivamente non lineare, e allora dovremo verificare non solo che siamo sotto il moltiplicatore limite (seguendo la formazione delle cerniere plastiche, io direi solo e soltanto con modelli a plasticità diffusa), ma anche che da nessuna parte la escursione plastica sia stata eccessiva, che gli effetti P-Δ siano contenuti, e certamente anche che gli spostamenti, molto maggiori, siano dovunque assorbibili dai vincoli eccetera. Una cosa niente affatto scontata.
• o facendo un calcolo elastico e verificando che ovunque lo sfruttamento sia inferiore a 1, ma anche assicurandoci che le prime zone a sforare siano proprio quelle dissipative da noi previste, e non altre. E che tutte arrivino contemporaneamente al limite o quasi. Quindi, che la distribuzione delle sollecitazioni sia tale da portare a sfruttamenti prossimi a 1 proprio quelle zone e non altre. Non basta, secondo me, constatare che lo sfruttamento è minore di 1. La distribuzione degli sfruttamenti deve essere coerente con il progetto, se il calcolo è lineare. E poi naturalmente, la gerarchia e la progettazione della duttilità. Anche se con un calcolo elastico lineare, non è che si veda molto. Con q alti mi verrebbe da dire che il calcolo dovrebbe sempre essere NL. Dato che la pushover su strutture reali è ampiamente insufficiente, anche se sovra-utilizzata e reputata, si va direttamente alla THNL.

Qualcuno ha sostenuto che il fatto di dimensionare con duttilità metta al riparo da possibili eccessi non previsti della domanda. Se per esempio dimensiono con q=4 e mi ritrovo che le zone dissipative da me previste aventi sfruttamento 0.98, se anche il sisma fosse più potente sarei protetto dalla redistribuzione e dalla dissipazione.

Questo può essere vero (e quindi bene sezioni in classe 1 e 2 anche con q=1) ma solo entro certi limiti. Al crescere della domanda infatti, cresce la escursione plastica, crescono gli spostamenti, cresce il rischio di raggiungere le deformazioni di rottura, e la "benzina" a disposizione, non è illimitata.

Inoltre, la durata del segnale e il suo contenuto in frequenza hanno una importanza dirimente, perchè molti cicli possono più facilmente portare a degrado, e perché il diverso contenuto in frequenza del segnale sollecita in modo diverso la struttura.

Per questo, secondo me, una THNL con molti segnali (pertinenti) è quello che dovremo fare.

Conclusione

Vorrei sottolineare che il porsi domande in merito a quello che c'è scritto nella norma, che non è né infallibile né, spesso, chiara, è sacrosanto. La norma non la hanno scritta degli dei. Può essere incompleta o sbagliata.

Ciò detto, spero di aver dato una risposta convincente. A presto.

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(1) Ricordando anche l'ottimo lavoro dei Proff. Marmo e Rosati che hanno mostrato come integrando sul contorno si possano ottenere risultati migliori rispetto a quelli del classico modello "a fibre", il quae ha dei limiti.

 Italiano/English

La professione di Ingegnere Strutturista

Recentemente mi è venuto da riflettere su alcuni aspetti salienti della mia professione, per come la ho praticata e la pratico io, e per come la ho vista praticare da tanti colleghi in Italia e all'Estero.

Quando eravamo alle Scuole Superiori e facevamo i nostri compiti in classe, c'erano i Professori che ci correggevano i compiti, segnando con la matita rossa e blu gli errori che facevamo. Ricevendo la correzione, prendevamo visione dei nostri errori e questo ci serviva a imparare.

In casa, io la ho vista usare tante volte, quella matita rossa e blu, perché mia madre, che era nata nel 1929, e aveva vinto molto giovane il concorso per la cattedra al Liceo, la usava spesso: insegnava inglese.

Allora, non ci rendevamo conto, io credo, di quanto ci fosse risparmiato, con quelle correzioni, di quanto quelle correzioni ci sgravassero dal compito di trovarli da noi, quegli errori.

I compiti in seguito sono diventati esami universitari, e anche in quel caso c'era qualcuno, i nostri Professori, che ci dicevano dove avevamo sbagliato.

Quando poi siamo diventati professionisti e abbiamo cominciato a prenderci le nostre responsabilità, non c'era più nessuno a correggerci i compiti, in specie quando lavoravamo da soli a un certo progetto.

La professione di Ingegnere Strutturista, come anche altri tipi di Ingegneria, o altri tipi di professione, mette direttamente a repentaglio la vita delle persone. Da un nostro errore, può dipendere un crollo, possono dipendere delle stragi.

Per questo molti di noi hanno studiato materie complicate, difficili, ed hanno a loro dedicato anni e anni della propria vita, delle proprie risorse intellettuali, delle proprie forze. Per questo abbiamo sbagliato e ci siamo corretti mille volte, per questo abbiamo inciso nel nostro cervello un modo di procedere rigoroso e attento. E non ci basta, no, non ci basta, che sulla noma tal dei tali sia scritta una certa cosa, perché il nostro obiettivo non è essere protetti dai possibili errori, sviste, manchevolezze altrui. No. Il nostro compito è proteggere le vite delle persone che fruiranno della nostra attività professionale.

Ma la nostra professione ha un che di subdolo e di tremendo in più. Se un chirurgo sbaglia a operare gli effetti si vedono subito. Se un pilota di aereo sbaglia una manovra, o un atterraggio, l'effetto è immediato. In quel caso, le decisioni vengono prese in poche frazioni di secondo, e per fare questo, serve un training specifico.

Per noi, è diverso.

Abbiamo in genere tempo, talvolta molto tempo, per decidere, considerare, riconsiderare. E poi, una volta che il nostro progetto, il nostro calcolo, la nostra decisione sono diventati operativi, tutto può ancora succedere, per anni, anni e anni.

E' per questo che molti, come me, dopo aver fatto una cosa, averla controllata e ricontrollata, fatta e rifatta, la notte, non dormono. E si dicono: ma non è che ho sbagliato lì? Ma non è che quel foglio EXCEL, quel programma, quel calcolo, quella operazione, quel modello, è sbagliato?

E così, il disturbo ossessivo-compulsivo di controllare e ricontrollare, di mettere sempre in dubbio quello che si è fatto, di aver timore di aver commesso un errore, e nondimeno di avere il coraggio di andare a controllare, anche quando ormai è tardi, ci accompagna costantemente. Perché sappiamo che un errore noi, non ce lo possiamo permettere.

Né possiamo tirare a indovinare, noi. Ogni cosa, la dobbiamo controllare. Ogni singola cosa. E questo, costa fatica, sacrifici, porta via tanto tempo. Le nostre vite ne sono segnate. Mentre per altri, altre professioni, è diverso. Molto diverso.

Nessuno, di solito, viene a correggerci il compito. Noi dobbiamo correggerci il compito.

E dopo avere visto e rivisto, controllato e ricontrollato, a un certo punto diciamo, dobbiamo dire: è giusto. E' così. Mi assumo la responsabilità di questo risultato.

Non invidio quelli tra noi Strutturisti (se ce ne sono) che non vivono questo tremendo processo di autocorrezione. Non invidio, francamente, la superficialità che forse qualcuno può avere, né i suoi sonni tranquilli. Queste persone, rischiano.

La mia vita di Ingegnere Strutturista è tormentata, come penso quella di tanti colleghi. Sono abituato, per lavoro, a dover cogliere ogni minima sfumatura, a una comunicazione esatta, che non lasci spazio a dubbi, e quando nella vita di tutti giorni questa deformazione professionale emerge, mostrandomi che la maggior parte della gente dice e si contraddice, afferma e nega, senza rendersene conto, e mi mette nella condizione della persona rigida e arida, io non mi arrabbio più.

Un tempo, cercai di convincere la moglie, il figlio, il fratello, che quanto avevano detto non era coerente. Poi, dopo tanti anni, ho capito che io, come molti colleghi, vivo una dimensione particolare.

Io gli errori non me li posso permettere. E se li faccio, nonostante tutto, devono essere rari, e devo poter dire, prima di tutto a me stesso, ho fatto di tutto per intercettare quell'errore. Se mi è sfuggito, forse ne ho la colpa, ma certo, non è stato per superficialità.

Questa, è la mia professione. Una professione di cui sono orgoglioso indipendentemente da quanto la società intorno a me ne ne dia atto, indipendentemente dai guadagni e dai riconoscimenti, che di solito, vanno da altre parti.

Il mio mestiere, è ragionare in modo logico, razionale e non contraddittorio.

Il mio mestiere, è proteggere, direttamente o indirettamente, la vita delle persone.

The profession of Structural Engineer

Recently, I found myself reflecting on some salient aspects of my profession, as I have practiced and continue to practice it, and as I have seen it practiced by many colleagues in Italy and abroad.

When we were in high school and doing our classwork, there were teachers who corrected our work, marking our mistakes with red and blue pencils. By receiving corrections, we became aware of our mistakes, and this helped us learn.

At home, I saw that red and blue pencil used many times, because my mother, who was born in 1929 and had won a teaching position at a high school at a very young age, often used it: she taught English.

Back then, I believe, we did not realize how much was being spared us with those corrections, how much those corrections relieved us from the task of finding those mistakes ourselves.

Assignments later turned into university exams, and even then, there was someone, our professors, who told us where we had gone wrong.

When we became professionals and started taking on our responsibilities, there was no longer anyone correcting our work, especially when we worked alone on a particular project.

The profession of a Structural Engineer, like other types of engineering or other professions, directly puts people's lives at risk. From one of our mistakes, a collapse can occur, massacres can happen.

For this reason, many of us studied complicated, difficult subjects and dedicated years and years of our lives, intellectual resources, and strengths to them. For this reason, we made and corrected mistakes countless times, and we engraved a rigorous and careful method of proceeding into our brains. And it is not enough, no, it is not enough, that a certain thing is written on a particular standard because our goal is not to be protected from the possible mistakes, oversights, or shortcomings of others. No. Our task is to protect the lives of the people who will benefit from our professional activities.

But our profession has something insidious and terrible in addition. If a surgeon makes a mistake in surgery, the effects are seen immediately. If an airplane pilot makes a mistake in a maneuver or landing, the effect is immediate. In those cases, decisions are made in fractions of a second, and for that, specific training is required.

For us, it is different.

We generally have time, sometimes a lot of time, to decide, consider, reconsider. And then, once our project, our calculation, our decision has become operational, anything can still happen, for years and years.

That is why many, like me, after having done something, checked and rechecked it, done and redone it, cannot sleep at night. And we say to ourselves: but didn't I make a mistake there? But isn't that EXCEL sheet, that program, that calculation, that operation, that model, wrong?

And so, the obsessive-compulsive disorder of checking and rechecking, of always doubting what has been done, of fearing to have made a mistake, and yet having the courage to check, even when it is too late, accompanies us constantly. Because we know that a mistake for us is not an option.

Nor can we guess, we must check everything. Every single thing. And this takes effort, sacrifices, takes away a lot of time. Our lives are marked by it. While for others, other professions, it is different. Very different.

No one usually comes to correct our work. We have to correct our own work.

And after having checked and rechecked, at a certain point, we say, we have to say: it is right. It is so. I take responsibility for this result.

I do not envy those among us Structural Engineers (if there are any) who do not live through this terrible process of self-correction. I do not envy, frankly, the superficiality that perhaps someone may have, nor their peaceful sleep. These people are at risk.

My life as a Structural Engineer is tormented, as I believe that of many colleagues is. I am used, for work, to having to grasp every little nuance, to exact communication that leaves no room for doubt, and when in everyday life this professional deformation emerges, showing me that most people speak and contradict themselves, affirm and deny, without realizing it, and puts me in the position of a rigid and arid person, I no longer get angry.

At one time, I tried to convince my wife, my son, my brother, that what they had said was not consistent. Then, after many years, I realized that I, like many colleagues, live in a particular dimension.

I cannot afford mistakes. And if I make them, despite everything, they must be rare, and I must be able to say, first of all to myself, I did everything to catch that mistake. If it escaped me, maybe it is my fault, but certainly, it was not due to superficiality.

This is my profession. A profession I am proud of regardless of how much the society around me acknowledges it, regardless of earnings and recognition, which usually go elsewhere.

My job is to reason logically, rationally, and non-contradictorily.

My job is to protect, directly or indirectly, the lives of people.

La modellazione dello smorzamento

Introduzione

Questo post nasce dalle domande fatte dall'ing. Carlo Sigmund in un commento a questo post su Linkedin. 

1) Pongo un quesito all’ing. Rugarli. Se si esegue un’analisi dinamica modale su un viadotto con sistemi di isolamento (che hanno coeff. di smorzamento viscoso equivalente > 5%) in testa alle sottostrutture, è giusto considerare per le verifiche di resistenza delle pile direttamente le sollecitazioni inviluppo che il software di calcolo riporta in output, (input di spettro scalato per T >= 0.8Tis)? In altre parole, può il diretto risultato di un’analisi dinamica modale (escludendo per semplicità effetti di interazione/deformabilità terreno-fondazioni, deformazioni anelastiche sezioni di connessione, effetti del II ordine, ecc.) essere rappresentativo per “estrarre” le sollecitazioni N, M, V, T ad esempio sulla sezione di spiccato di una pila (soprattutto nel caso di pile di altezza molto diversa fra loro)?

2) Sembrerebbe che i software di calcolo al momento disponibili non permettano di differenziare, almeno nelle analisi modali lineari, i “damping ratios” di tutti gli elementi presenti nel modello (in generale, le pile in condizioni di fessurazione, le fondazioni stesse, i terreni e gli apparecchi di appoggio stessi) e che il calcolo utilizzi lo stesso “damping ratio” fissato negli spettri con ramo scalato (quindi in funzione dei soli apparecchi di appoggio). La domanda: è sbagliato analizzare la pila e l’interazione terreno-fondazioni con un modello SDOF utilizzando in input gli scarichi “scalati” provenienti dall’impalcato (da analisi modale modello 3D)? E così poter calcolare, utilizzando per la pila e l’interazione suolo-fondazioni, differenti valori di “damping ratio”? La domanda mi appare ancora più pressante se nel viadotto ci sono pile molto alte.

L'argomento e le domande poste dal collega sono molto interessanti, per rispondere però c'è bisogno di più spazio. Ecco quindi che qui do il mio punto di vista sulla questione, rifacendo il punto sulla questione smorzamento anche per i non strettamente addentro ai problemi di calcolo e sviluppo.

Lo smorzamento

E' importante dire che lo smorzamento in tutte le analisi dinamiche gioca un ruolo fondamentale. Una differenza nel valore di smorzamento può fare la differenza tra la vita e la morte, per una struttura. D'altro canto, sia per ragioni fisiche che per ragioni numeriche, la modellazione dello smorzamento è molto complicata e presenta aspetti incerti e di difficile valutazione.

Influiscono sullo smorzamento:

1. La ampiezza delle oscillazioni.
2. Le parti non strutturali e non modellate: partizioni, infissi, masse in moto attritivo.
3. Lo smorzamento interno agli elementi strutturali, che può essere:
1. Isteretico (legato a cicli di plasticizzazioni e scarichi), con o senza degrado ciclico
2. Attritivo
3. Legato a microfessurazioni o vere e proprie fratturazioni
4. Lo smorzamento legato alla interazione delle fondazioni con il suolo.
5. Radiation damping
6. Lo smorzamento legato alla interazione della struttura con l'aria o coi i fluidi in cui è immersa.
7. ....

Da un punto di vista numerico, lo smorzamento di gran lunga più usato è quello viscoso, in cui le forze di smorzamento sono direttamente proporzionali alla velocità. E' detto "equivalente" perché spesso è tarato in modo da comportare una dissipazione equivalente a quella che si vuole modellare.

Quando non si può, non si vuole o non si riesce a modellare in modo dettagliato lo smorzamento con appropriate leggi costitutive (smorzamenti 3 e 4, pur con le incognite legate alla modellazione del suolo, anche per mezzo di elementi concentrati), si ricorre allo smorzamento viscoso. Che è un "trucco" perché non tutti gli smorzamenti sono viscosi (ma qualcuno sì).

Si ricorre anche allo smorzamento viscoso per la modellazione di smorzamenti che sarebbe impossibile modellare esplicitamente (smorzamento 2 e 6). In letteratura tale smorzamento si chiama "inherent damping" o "unmodelled damping".

Se non si riesce a modellarli (per qualche ragione) anche gli smorzamenti 3, 4 e 5 e 6 vengono talvolta tenuti in conto con lo smorzamento viscoso.

In tutti i casi (anche i casi 3) la modellazione dello smorzamento (e del degrado ciclico) è complicata e presenta una incognita rispetto al reale comportamento sperimentale, in specie per le strutture esistenti, nelle quali non esistano dispositivi appositamente progettati allo scopo di dissipare energia.

La decomposizione modale

Perché si possa fare una analisi modale, il sistema deve essere disaccoppiabile. Se il sistema non è smorzato, è sempre disaccoppiabile. Se il sistema è smorzato, esso è disaccoppiabile solo quando lo smorzamento è viscoso (e basta) e la matrice dello smorzamento C presenta certe ben precise caratteristiche.

Quando lo smorzamento è tale da consentire il disaccoppiamento è detto "classico".

A livello di analisi modale, tre sono le tecniche classicamente in uso per disaccoppiare il sistema:

1. Smorzamento alla Rayleigh : C = ɑM + 𝛽K.
2. Smorzamento alla Caughey che è una estensione del precedente
3. Smorzamento "modale" o alla Wilson-Penzien, o "light damping approximation"

Lo smorzamento alla Rayleigh contente di specificare il valore di smorzamento relativo al critico solo di due modi (il cui smorzamento è imposto, o "collocato"). Gli smorzamenti degli altri modi derivano direttamente da una formula ben precisa, che dà lo smorzamento in funzione di ɑ di 𝛽 e delle frequenze dei due modi collocati. Il risultato è che lo smorzamento degli altri modi può essere completamente sbagliato, e in particolare, troppo alto. Quindi i modi ad alta frequenza possono essere smorzati via (damped out) dalla risposta, che può così venire a perdere parti importanti.

Lo smorzamento alla Caughey è computazionalmente molto più oneroso di quello alla Rayleigh, e comunque, dato che una struttura può avere dozzine di modi, può di fatto essere impiegato, ancora una volta, solo con precisione su alcuni.

Lo smorzamento alla Wilson-Penzien, di fatto ragiona in questo modo: a ogni modo estratto con i metodi normali, viene associato un certo smorzamento relativo al critico. Esiste una certa matrice di smorzamento viscoso C che dà luogo a questo risultato (tale C non è sparsa, il che ha ricadute sulle TH). Nelle analisi modali, tale matrice non è però calcolata, di fatto si utilizzano gli stessi modi. Da notare che la equazione del singolo oscillatore, ma viscosamente smorzato, presenta un periodo diverso da quello dell'oscillatore libero. Il termine per cui bisogna moltiplicare la pulsazione ⍵ è pari a sqrt(1-𝛎²), che, se lo smorzamento è piccolo, è praticamente pari a 1, ma che, se lo smorzamento è grande, può differire un po' più (con 𝛎 = 0.2 vale 0.98).

Questo ultimo tipo di smorzamento, è fattibile numericamente, ma non è detto che sia giustificato fisicamente: non è detto che il sistema sia veramente disaccoppiabile. In particolare, la presenza di smorzatori viscosi concentrati (tipicamente smorzatori in fondazione o isolatori), il sistema tipicamente non è disaccoppiabile.

Anche se si attribuisce agli elementi un certo smorzamento elementare, per esempio alla Rayleigh, per tener conto del diverso smorzamento in diverse parti della struttura, la matrice di smorzamento che si ottiene non è disaccoppiabile (cfr. infra).

Analisi a spettro di risposta (RS)

Lo smorzamento adoperato nella RS

Nella analisi a spettro di risposta viene normalmente impiegato uno spettro unico, con un dato smorzamento. Dello smorzamento si tien conto tramite la modifica dello spettro elastico con un certo smorzamento. Da quanto abbiamo visto prima, si capisce che tale assunzione coincide di fatto con uno smorzamento alla Wilson-Penzien in cui tutti i modi abbiano lo stesso smorzamento, quello dello spettro.

Tale assunzione è giustificata?

Se si fa una analisi modale con una struttura in cui siano presenti degli isolatori, ci saranno dei modi che sperabilmente saranno i primi, a periodo lungo, in cui la struttura tenderà a muoversi come corpo rigido sull'isolatore. Ci saranno poi dei modi a periodo più breve, sperabilmente ben distaccati dai primi, in cui la struttura si deformerà.

Nei primi modi, lo smorzamento da associare sarebbe quello degli smorzatori. Smorzamenti relativi al critico alti.

Nel secondi modi, lo smorzamento da associare sarebbe quello tipico della struttura, per esempio 5%.

Lo spettro di risposta da usare per questi modi, dovrà essere a rigore diverso. Non per la forma o per la PGA di ancoraggio (comunque assai discutibili), ma per lo smorzamento.

Dato che nella RS gli effetti dei modi vengono computati singolarmente, e poi combinati (con CQC o altro) a valle, nulla vieta di usare spettri con smorzamento diverso per modi diversi, ovvero spettri modali (potrebbe essere il metodo degli spettri di risposta modali). La norma al punto 7.10.5.3.2. dice che lo spettro di risposta elastico va ridotto con lo smorzamento del sistema di isolamento, solo per il campo di periodi corrispondente a T > 0.8sec. Il che è un modo per applicare due spettri di risposta diversi a seconda dei periodi. Più logico sarebbe applicare lo smorzamento in funzione della forma dei modi: per i modi che lasciano la struttura indeformata, lo smorzamento dell'isolatore, per i modi che la deformano, lo smorzamento del 5% o comunque quello "strutturale" (il 5% è uno smorzamento strutturale alto e tiene conto di un elevato livello di spostamento, ovvero di oscillazioni ampie). Nella speranza/esigenza che i due insiemi di modi non si presentino assieme.

Il problema è appunto che un qualche accoppiamento c'è quasi sempre. Se non ci fosse accoppiamento il periodo del modo traslazionale coinvolgente l'isolatore sarebbe quello dell'oscillatore di massa eguale alla massa totale della struttura e rigidezza pari alla sola rigidezza traslazionale dinamica degli isolatori. Se il periodo è più lungo, allora la struttura in qualche modo si deforma pure lei, e quindi vi è accoppiamento. La struttura non trasla rigidamente.

Due deformate modali. La seconda, in basso, rigorosamente disaccoppiata, la prima in alto, non proprio.

Quando sarebbe giustificato usare comunque un solo spettro, con uno smorzamento alto, nel caso di modellazione di struttura con smorzatori?

Sarebbe giustificato solo se il fattore di partecipazione dei modi coinvolgenti la struttura e che la vedano deformarsi, senza coinvolgimento degli isolatori, fosse molto basso, trascurabile, ovvero solo se ci fosse un disaccoppiamento totale, e effettivamente i modi deformativi della struttura fossero completamente ininfluenti. 

Se ciò non avviene, assegnare a tali modi, non coinvolgenti gli isolatori, lo smorzamento degli isolatori non è a favore di sicurezza. Ma la norma consente di farlo solo per periodi maggiori di 0.8 secondi, come si è visto. Tali modi, con un isolatore, dovrebbero coinvolgere il solo isolatore.

Anche nel caso di modi misti, ovvero in cui si deformano sia le molle al piede simulanti gli isolatori, sia in qualche modo la struttura, la assegnazione di un unico smorzamento a quel modo pare discutibile.

Modi ad alta frequenza

I modi ad alta frequenza possono essere o no importanti.

Non sono importanti, ed anzi sarebbe meglio non considerarli, quando sono il risultato di atti di moto locali, favoriti e computati con una mesh localmente insufficiente. In questo caso la loro è una esistenza puramente numerica, nel senso che i modi locali, quando calcolati appropriatamente infittendo localmente la mesh, avrebbero forme e periodi diversi.

Sono importanti quando sono la corretta risposta di parti della struttura per le quali siano effettivamente presenti oscillazioni locali ad alta frequenza che, pur non essendo importanti globalmente, possono dare un contributo significativo localmente. E magari scatenare una crisi.

Nel primo caso, la loro sparizione per eccesso di smorzamento può essere un fatto positivo. Ciò può avvenire con lo smorzamento alla Rayleigh, che colloca solo i due modi più importanti, o con smorzamenti alla Wilson-Penzien variabili linearmente con la frequenza; può anche avvenire, nelle time history, quando il dT della analisi è paragonabile al T del modo in questione, e con certe tecniche numeriche piuttosto che altre (per esempio, il metodo Wilson-Θ, se il dT non è sufficientemente piccolo rispetto al periodo di un modo, lo fa sparire dalla risposta).

Dipende.

Time History Modale (THM)

La THM richiede il disaccoppiamento dei modi, e quindi impone che lo smorzamento sia classico:

• Alla Rayleigh
• Alla Caughey
• Alla Wilson-Penzien

Tutti questi smorzamenti esprimono condizioni sulla C globale assemblata e non usano smorzamento elementare.

Se ci sono altre fonti di smorzamento (isteresi, attrito), o se lo smorzamento non modellato non è del tipo indicato, la modale non si può fare e non si può nemmeno fare la THM. Però la THM continua ad avere valore per molte ragioni:

1. E' utilizzabile per strutture lineari e con smorzamento classico (viscoso disaccoppiabile).
2. Consente di studiare la energia elastica entrante nel sistema.
3. Consente di prevedere picchi di risposta e di scegliere gli accelerogrammi (EDEM).

Time History con integrazione diretta, Lineare o Non Lineare (THL, THNL).

In questo caso i modi non servono. Però, serve un'altra cosa, che per la analisi di strutture realistiche non è meno importante: la sparsità di C.

    Se C non è sparsa, la occupazione di memoria e il tempo di calcolo possono essere molto significativi o addirittura proibitivi. Le tecniche di integrazione (Newmark, Wilson-Θ), ricordo, perturbano la matrice di rigidezza (a ogni passo in campo NL), con contributi funzione della matrice delle masse M e della matrice di smorzamento C. Se questa non è sparsa, sono guai.

    Ne consegue che, ad esempio, lo smorzamento alla Wilson-Penzien, che sarebbe auspicabile, non è di fatto utilizzabile (se non a un costo computazionale molto elevato quando ci sono tanti GDL) nelle THL e THNL, poiché conduce a una C non sparsa.

    In tempi relativamente recenti (2016), nell'ambito delle THL e NL, è stato proposto lo smorzamento elementare, come tecnica atta a tener conto in modo puntuale del diverso smorzamento in diverse parti della struttura, in funzione del materiale e/o della zona (Puthanpurayil et al, 2016).

    Non si sta parlando dello smorzamento isteretico o attritivo, seguito integrando le leggi costitutive nel tempo. Si sta parlando di un mezzo semplificato per tener conto dello smorzamento non modellato direttamente con le tecniche di integrazione della legge costitutiva. Di solito, uno smorzamento viscoso equivalente, che concorre all'assemblaggio della C globale.    

    

    Purtroppo, queste tecniche hanno mostrato limiti forti legati (Lee et al. 2023):

• Al fatto che si perde il significato fisico di quello che si sta facendo. Per avere smorzamenti globali decenti possono essere necessari smorzamenti elementari altissimi.
• Al fatto che non è accettabile che sia necessario smorzare anche gli atti di moto rigidi dell'elemento.
• Al fatto che la matrice C, benché sparsa, porti a sistemi non disaccoppiabili.

In tempi molto più recenti il meraviglioso lavoro di Lee (davvero straordinario), ha condotto a una completa ridefinizione del problema (Lee 2020).

Inizialmente le nuove tecniche hanno riguardato le tecniche classiche, con il particolare obiettivo di avere uno smorzamento globale alla Wilson-Penzien, ma con matrici sparse. La tecnica proposta nel 2020 fa uso di un assemblaggio completamente diverso e aggiunge altri nuovi gradi di libertà di appoggio. Lo smorzamento è modellato con "bell functions", che hanno generalità e flessibilità.

In un secondo tempo (Lee et al. 2023) l'approccio è stato esteso allo smorzamento elementare, risolvendo a quanto pare tutti i relativi problemi.

Al momento, pare di poter dire che l'approccio di Lee e del gruppo di studiosi neozelandesi è quanto di meglio esista per la modellazione dell'inherent damping viscoso.

Riepilogo smorzamenti

In presenza di smorzatori concentrati o di smorzamento isteretico o attritivo, non c'è mai la disaccoppiabilità, quindi tecniche modali non sembrano essere adeguate.

Allo stato attuale la situazione pare essere questa:

Smorzamento                Disaccoppiabilità        Sparsità        Precisione Smorzamento

Rayleigh                                    sì                        sì                                no

Caughey                                    sì                        sì                                no

Wilson-Penzien                         sì                        no                               sì

Elementare  Rayleigh(*)           no                       sì                                no - perdita significato fisico

Elementare Bell Shaped (**)    no                       no                               sì

Elementare Bell shaped (***)   sì                        sì                                sì

(*)          Ogni elemento ha il suo smorzamento alla Rayleigh

(**)        Ogni elemento ha il suo smorzamento bell shaped, e l'assemblaggio è classico

(***)      Ogni elemento ha il suo smorzamento bell shaped, e l'assemblaggio è alla Lee con nuovi gradi di libertà (Lee 2020)

Risposte ai quesiti dell'ing. Sigmund

Ora, chiarite un po' di cose, anche per utilità generale, posso provare a rispondere ai quesiti.

A mio parere dunque, a rigore la risposta alla domanda dell'ing. Carlo Sigmund numero 1) è "NO".

In presenza di smorzatori concentrati, la matrice di smorzamento C non ha la forma né dello smorzamento alla Rayleigh, né dello smorzamento alla Caughey, né di quello alla Wilson-Penzien. Pertanto una analisi "dinamica modale", fosse anche una THM e non una RS, non può dirsi un calcolo rigoroso.

Semplicemente, in presenza di smorzatori concentrati, il sistema non è disaccoppiabile.

A mio parere, se il sistema di smorzare i modi che presentino uno spostamento strutturale rigido (ammesso che esistano) con lo smorzamento dell'isolatore può essere un buon escamotage, io non lo adotterei in presenza di strutture molto importanti come forse un ponte con varie pile e per di più di diversa altezza.

Meno che meno adotterei uno smorzamento alto indiscriminatamente per tutti i modi. Se un modo presenta deformazione strutturale (indipendentemente dal suo periodo secondo me) lo smorzamento afds non può essere che quello della struttura. Se no, le corrispondenti azioni interne sono sottostimate.

In questi casi bisogna fare una integrazione nel tempo e quindi integrare il sistema.

Relativamente alla premessa del quesito 2), io non so dire cosa facciano i software perché il mio è un lavoro di sviluppo dei miei. Lo smorzamento "elementare" è stato inteso in letteratura come un modo per tener conto dello smorzamento non modellabile o "inerente" (non quello isteretico, non quello attritivo, che si modella integrando la legge costitutiva NL), in modo da differenziarlo da materiale a materiale e da zona a zona nella struttura. Tali tecniche presentano problemi perché è difficile mettere in relazione lo smorzamento degli elementi con quello globale, perché il sistema risulta non disaccoppiabile e perché si perde il significato fisico di quello che si sta facendo (Lee et al. 2023). Dato che l'assemblaggio di C elementari diverse (C_e) dà luogo a una C che accoppia il  problema, le tecniche di smorzamento elementare non sono applicabili alla analisi modale (se non con speciali tecniche di assemblaggio introdotte dall'importante lavoro di Lee, e con la aggiunta di nuovi dof). 

Lo smorzamento isteretico, quello attritivo, e quello degli smorzatori concentrati viscosi, non potrà mai, a mio parere, essere modellato in modo accurato con tecniche di decomposizione modale: è necessaria una analisi al passo che, a causa della natura del problema, non può che essere non lineare.

Le THNL rappresentano oggi quello che dobbiamo fare, per liberarci di lacci e lacciuoli che sono ormai non più necessari. Anche se, per moltissime ragioni, avremo comunque sempre e solo approssimazioni del comportamento reale e non precise simulazioni (magari apparentemente precise). In specie sulle costruzioni esistenti.

La risposta al quesito 2) (se ho capito bene) è che quello che si cerca di fare è di fatto disaccoppiare il moto facendo prima "alto" e poi "basso". Io semmai farei prima "basso" e poi "alto", ma non so se ho capito bene. Può darsi che questo in certi casi sia possibile, ma non credo che sia possibile in senso generale, in tutti i casi. Non vedo giustificazioni teoriche per fare una cosa del genere in generale, anzi vedo ostacoli legati all'accoppiamento. Forse si potrebbe procedere disaccoppiando quando una analisi modale mostri davvero che quando si deformano gli isolatori la struttura non si deforma (ma trasla a corpo rigido) e viceversa. Ma ho la sensazione che sia una situazione assai difficile da ottenere con rigore. In quel caso, uno in teoria potrebbe:

• studiare la risposta di un oscillatore semplice al segnale, tenendo conto della rigidezza locale dell'isolatore, della massa totale, e dello smorzamento locale.
• usare la risposta di questo oscillatore (la accelerazione in funzione del tempo) come segnale da applicare alla struttura su appoggi rigidi, e con il suo smorzamento inerente.

Ciò però implica assumere che quando si deforma l'isolatore la struttura resti rigorosamente indeformata il che penso sia raramente verificato.

La risposta al problema, capisco non troppo soddisfacente, secondo me è: THNL con:

1. Modellazione dello smorzamento isteretico e attritivo per integrazione diretta delle leggi costitutive (includendo il degrado ecc.).
2. Assemblaggio dello smorzamento viscoso degli smorzatori concentrati alla matrice C.
3. Modellazione dell'inherent damping o con Rayleigh, o con smorzamento elementare nella modalità di Lee, per formare una matrice globale C che sia sparsa.

Le tecniche modali, temo, non sono sufficienti per modellare cose così complesse.

Comunque, lo studio procede e farò degli esperimenti numerici per ulteriore sicurezza. Le THNL sono attualmente un campo aperto di studio e ricerca, lo dimostrano l'articolo di solo un anno fa di Lee et al., che, mi pare, rivoluziona il campo.

Riferimenti

Lee C-L, (2020) Sparse proportional viscous damping model for structures with large number of degrees of freedom, Journal of Sound and Vibration, 478, 2020

Lee C-L., Chang T. L., Carr A J., (2023) Consistent Assembly method for elemental damping, Computers and Structures, 289, 2023

Puthanpurayl AM, Lavan O, Carr AJ e Dhakal RP (2016), Elemental Damping formulation: an alternative modelling of inherent damping in nonlinear dynamic analysis, Bul, Earth. Eng., 14(8)